Lois des probabilités discrètes-Page8

III. Quelques lois de probabilités discrètes particulières (célèbres)

Différentes expériences peuvent être modélisées à l’aide d’une même loi de probabilité. Il suffit juste de reconnaitre dans un problème donné, la structure (ou loi) probabiliste qu’il est convenable d’appliquer.

Dans ce qui suit, nous allons examiner les modèles discrètes les plus souvent utilisés en pratique, qu’elles sont leurs principales propriétés et comment les reconnaitre dans un problème donné.

1. Loi de Bernouilli

Dans le modèle de loi de Bernoulli, l’expérience ne peut donner lieu qu’à deux résultats : succès ou échec. Ainsi, la variable aléatoire qui nous intéresse prendra la valeur 1 si on a obtenu un succès et 0 si c’est le cas contraire donc un échec.

En posant la probabilité de succès égale à p, on peut définir une variable aléatoire de Bernoulli de la manière suivante.

1.1. Définition

Soit une expérience aléatoire ayant deux résultats possibles :
E= {le succès} et E^*= {l’échec}

On associe à cette épreuve une variable aléatoire discrète Y ayant deux réalisations possibles:
Y = { 0, 1} avec :

Y=1 associé à un succès avec Pr(E) = Pr(Y=1) = π
Y=0 associé à un échec avec Pr(E^*) = Pr(Y=0) = 1-π
et avec 0 ≤ π ≤ 1

On dit que : cette variable aléatoire Y suit une loi de Bernoulli de paramètre π notée :
Y ~ B (1 ; π )
Dans certains livres on peut trouver aussi la notation : Y ~ Bernoulli (p)

1.2. Caractéristiques de la loi de Bernouilli

Paramètres caractéristiques : Y ~ B (1 ; π)
Réalisations	Y = 0 ou 1 (discrète finie)
Probabilités	Pr(Y=1) = π avec 0 ≤ π ≤ 1 Pr(Y=0)= 1- π
Espérance	E(Y) = π
Variance	Var(Y) = π.(1- π)
Écart-type	σ(Y) =

Démonstration

y_i	0	1
Pr(Y=y_i)	1- π	π

E(Y)=

y_i. Pr (Y = y_i) = 0. (1- π) + 1. π = π
E(Y²)=

y_i². Pr (Y = y_i) = 0². (1- π) + 1². π = π
Var (Y) = E(Y²) - E(Y)² = π - π² = π . (1 - π)

Exemple 16

La variable aléatoire Y = «avoir une insuffisance rénale» suit une loi de Bernoulli de paramètre π = 0,1 : Y = (1 ; 0,1)

E(Y) = π = 0,1
Var(Y) = π.(1- π) = 0,1 . (1 – 0,1) = 0,09