Lois des probabilités discrètes-Page9

2. Loi binomiale

2.1. Défintion 1

Soit une expérience aléatoire qui consiste à répéter indépendamment n épreuves identiques. Chacune des épreuves ne pouvant donner qu’à 2 résultats possibles : succès ou échec. La probabilité de succès est π et la probabilité d’échec est 1- π.
Une variable aléatoire X de loi binomiale dénombre les succès obtenus en n épreuves. Donc, X peut s’exprimer de la façon suivante : X = nombre de succès en n tentatives.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètre n et π.

On remarque alors qu’on peut exprimer X comme la somme de n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes. Autrement dit,

X = Y₁+Y₂+… Y_n
Où les variables Y_i sont indépendantes et Y_i ~ Bernoulli(π) pour i = 1, …,n.

2.2. Défintion 2

La somme de n variables aléatoires de Bernoulli Y_i (i =1,2,..,n) indépendantes et identiquement distribuées (donc de mêmes paramètres π) est une variables aléatoire X discrète dont la loi est appelée loi binomiale de paramètre n (n>0) et π avec 0 ≤ π ≤ 1 .

X =

Yi ~ B (1 ; π )

Une loi binomiale de paramètre 1 et π est une loi de Bernoulli.

2.3. Caractéristiques de la loi binomiale

Paramètres caractéristiques : X ~ B (n ; π) (avec 0 ≤ π ≤ 1)
Réalisations	X = 0, 1, 2, .., n (discrète finie)
Probabilités	Pr(X=k) =
Probabilités
Espérance	E(X) = n· π
Variance	Var(X) = n·π·(1- π)
Écart-type	σ(X) =
Mode	π·(n+1) – 1 ≤ Mo(X) ≤ π·(n+1) (valeur entière)

Démonstrations

Le nombre de combinaisons d’avoir k succès parmi n est :

La probabilité d’obtenir k succès = π^k
La probabilité d’obtenir (n-k) échec = (1 – π)^n-k

Pr (X=k) =

Les moments obtenus grâce aux propriétés de l’espérance et de la variance sont donc:

E(X) = E( Y_i ) = E(Y_i ) = π = n . π

Puisque : E(Y_i+Y_j) = E(Y_i) + E(Y_j)
Y_i ~ (1 ; et E(Y_i) = π

Var (X) = Var ( Y_i ) = Var(Y_i ) = π (1 - π ) = n . π . (1- π)

Puisque : si Y_i et Y_j sont deux variables aléatoires indépendantes alors :
Var(Y_i+Y_j) = Var(Y_i) + Var(Y_j)
Y_i ~ (1 ; π) et Var (Y_i) = π(1- π)