Lois des probabilités discrètes-page5

5.3. Variance

5.3.1. Définition

La variance de la variable aléatoire X, notée Var(X) est le moment centré d’ordre 2, c'est-à-dire l’espérance mathématique du carré de la variable aléatoire centrée.

Var (X) = E( [X - E(X )]²) =

[x_i - E(X)]² . Pr ( X = x_i )

La variance est d’autant plus faible que les écarts à la moyenne sont faible (c’est-à-dire que les [xi – E(X)] sont faibles). La variance est un indicateur de dispersion d’une variable aléatoire autour de son espérance mathématique

5.3.2. Théorème de Kôning

Var (X) =

x_i² . Pr (X=x_i) - (

x_i . Pr(X=x_i) )² = E(X²) - [E(X)]²

Démonstration

Var(X) = E ( [X – E(X)]² ) = E ( X² – 2 X. E(X) + [E(X)]² )

= E(X²) – 2. E(X). E(X) + [E(X)]² = E(X²) - [E(X)]²

Exemple 10 (Suite de l’exemple 9)

Le problème de l’insuffisance rénale. La variable aléatoire associée est Y.

y_i	0	1
Pr (Y =y_i )	0,9	0,1

Calculer Var (Y)

Solution

Var (Y) = E(Y²) - [E(Y)]² = 0,1 – 0,1² = 0,09

5.3.3. Propriétés

1. Soit X une variable aléatoire et soit a un réel alors :

Var(X) ≥ 0
Var(a) = 0
Var (a.X) = a² . Var(X)
Var (X+a) = Var (X)

2. Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes alors :

Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y)

Var (X – Y) = Var (X) + Var (Y)

Forme générale

On peut généraliser ces résultats à une suite de variables aléatoires X₁, X₂, .., X_n mutuellement indépendantes et deux suites de constantes a₁, a₂,..,a_n et b₁, b₂, ..,b_n

Var (

a_i .X_i + b_i ) =

a_i² . Var (X_i)

Démonstrations
1. Var (aX) = E(a².X²) – E(a.X)² = a².[E(X²)-E(X)²] = a². Var(X)

2. Var(X+a) = E[(X+a)²] - E(X+a)² = E(X² + a² + 2.a.X] - E(X+a)²

= E(X²) + a² + 2.a. E(X) – (E(X) + a)² = E(X²) + a² + 2.a. E(X) – E(X)² – a² - 2.a. E(X)

= Var(X)
3. Var(X-Y) = Var(X)+Var(-Y) = Var(X)+(-1)².Var(Y) = Var(X) + Var(Y)