Lois des probabilités discrètes-page4

5. Paramètres caractéristiques de la variable aléatoire

Les définitions des paramètres caractéristiques sont données pour un ensemble dénombrable fini (donc allant de 1 à n fini). Ces définitions peuvent être généralisées pour un ensemble dénombrable infini en remplaçant n par ∞.

5.1. Espérance mathématique

5.1.1. Définition

L’espérance de la variable aléatoire X, notée E(X), est la somme des réalisations possibles pondérées par leurs probabilités respectives.

E(X) =

L’espérance est un paramètre de position (moyenne pondérée) de la variable aléatoire.

5.1.2. Propriétés

1. Soient variables aléatoires X et Y et deux réels a et b

E(a)=a

E(aX+b)= a E(X) + b

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

E(X-Y) = E(X) - E(Y)

2. Si E(X) = 0, on dit que la variable aléatoire est centrée

5.2. Moment d'ordre r

Le moment d’ordre r d’une variable aléatoire X, notée E(X^r) est défini par :

= =

Si r=2, on parle de moment d’ordre 2

Si r = 1, alors on peut que l’espérance est le moment d’ordre 1

Exemple 9 (Suite de l’exemple 2)

Le problème de l’insuffisance rénale. La variable aléatoire associée est Y.

y_i	0	1
Pr (Y =y_i )	0,9	0,1

Calculer le moment d’ordre 2 de cette variable Y.

Solution

= 0² + 1² . 0,9 + 1² . 0,1 = 0,1