Lois des probabilités discrètes-page3

4. Fonction de répartition

4.1. Défintion

La fonction de répartition associé à la variable aléatoire réelle X est la fonction, notée Fx, définie de R dans l’intervalle [0,1] par :

  F_x(x) = Pr(X ≤ x) =
Sa représentation graphique est une fonction en escalier tel que :
Si    x < x₁           alors    F_x(x) = 0
Si    x₁≤ x <x₂     alors    F_x(x) = Pr(X = x₁) = p₁
Si    x₂≤ x <x₃     alors    F_x(x) = p₁ + p₂
. . . .
Si    x_n-1≤ x <x_n    alors    F_x(x) =

Si x ≥ x_nalors F_x(x) =

= 1

4.2. Propriétés

4.2.1. Propriété de continuité

- Continuité à droite : F_x(x=h) = F_x(x)

- Discontinuité à gauche en chaque réalisation de x_i de la variable aléatoire admettant une probabilité de réalisation non nulle (c'est-à-dire valeur pour laquelle la fonction de répartition saute).

F_x(x_i) - F_x(x_i +h) = Pr (X = x_i) = p_i

4.2.2. Autres propriétés

- 0 ≤ F_x(x) ≤ 1 (par définition)

- F_x(x) est croissante au sens large : si a ≤ b alors F_x(a) ≤ F_x(b)

- F_x(x) = 0 et F_x(x) = 1

Exemple 6

Évaluer la fonction de répartition de l’exemple 4 et tracer le graphique correspondant.

Solution

y	F_y(y) = Pr (Y ≤ y_i)
y< 0	0
0 ≤ y < 1	0,9
y ≥1	1

Exemple 7

Évaluer la fonction de répartition de l’exemple 5 et tracer le graphique correspondant.

x	F_x(x) = Pr (X ≤ x_i)
x < 0	0
0 ≤ x < 1	0,6561
1 ≤ x < 2	0,9477
2 ≤ x < 3	0,9963
3 ≤ x < 4	0,9999
x ≥ 4	1

4.2.3. Application utile

Soient a et b deux réels tel que a < b (qui ne sont pas forcement des réalisations).

Pr (a < X ≤ b) = F_x(b)- F_x(a)

Exemple 8

Considérer les données de l’exemple 7 et calculer Pr (-2 < X ≤ 0,5).

Solution

Pr (-2 < X ≤ 0,5)= F_y(0,5)- F_y(-2) = 0,9 – 0 = 0,9