Lois des probabilités discrètes-Page12

3. Loi de Poisson

3.1. Défintion

Une variable aléatoire X suit une loi de poisson de paramètre réel strictement positif λ (λ>0), notée

X ~ Ƥ(λ), si elle prend des valeurs entières dont les probabilités de réalisations sont définies par

k ϵ N Pr (X = k ) =

3.2. Tableau de correspondance de la loi de Poisson

K	0	1	2	3	4	...	n
Pr(X=k)	e^-λ	λ . e^-λ	e^-λ . λ² / 2!	e^-λ . λ³ / 3!	e^-λ . λ⁴ / 4!		e^-λ . λⁿ / n!	1

C’est une loi de probabilité puisque :

Pr (X = k) = 1
Démonstrations

Pr (X = k) =

e^-λ . λ^k / k! = e^-λ .

λ^k / k! =e^-λ. e^λ. = 1

Puisque

λ^k / k! = e^λ

3.3. Caractéristiques de la loi de Poisson

Paramètres caractéristiques : X ~ P (λ)
Réalisations	X = 0, 1, 2, ..∞ (discrète finie)
Probabilités	Pr(X=k) =
Probabilités	=
Espérance	E(X) = λ
Variance	Var(X) = λ
Écart-type	σ(X) = λ^1/2
Mode	λ– 1 ≤ Mo(X) ≤ λ (valeur entière)

3.4. Domaine d'application de la loi de Poisson

La loi de poisson est reconnue comme étant la loi des phénomènes rares. En effet, elle est utilisée pour modéliser des comptages des événements rares donc ayant des probabilités très faibles de réalisation.

Exemples : maladies rares, accidents mortels etc..