Lois des probabilités discrètes-Page1

I. Introduction

Dans ce chapitre, on va traiter des notions qui seront très importantes pour les sujets en rapport avec les statistiques, soient les notions de variables aléatoires, de lois de probabilité, d’espérance mathématique d’une variable aléatoire et de variance d’une variable aléatoire.

Les notions de probabilité sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire) alors que les notions de statistiques sont associées à un nombre restreint d’observation (échantillon).

L’étude des lois des probabilités permet donc de caractériser d’une manière conceptuelle une population hypothétique et infinie.

En résumé : on peut dire, que le calcul des probabilités est l’aspect théorique des notions pratiques traités par les statistiques descriptives. On peut donc présenter l’équivalence entre leurs concepts sur lesquelles nous y reviendront tout au long des chapitres suivants :

Notions probabilistes (*concept théorique*)	Notions de statistiques (*concepts pratiques*)
Probabilité d’un événement	Fréquence relative
Variable aléatoire	Variable statistique
Loi de probabilité	Distribution statistique (empirique)
Espérance mathématique d’une variable aléatoire	Moyenne arithmétique d’une variable statistique
Variance d’une variable aléatoire	Variance d’une variable statistique

II. Variables aléatoires discrètes

1. Application des notions de variable aléatoire en biomédicale

On sait que le nombre de mois de survie après le diagnostic d’un cancer des poumons par exemple est variable d’un sujet à un autre : comment représenter cette variabilité? Comment comparer les survies (variables) de patients atteints d’un cancer des poumons et celles de patients atteints d’un cancer primitif du foie? Dans les deux cas, il y a survies très courtes et d’autres longues. Mais en moyenne ? Sont-ils aussi variables d’un patient à l’autre dans les deux maladies?

2. Défintion d'une variable aléatoire discrète

Il existe en pratique autant de définitions de variable aléatoire qu’il y a d’auteurs. Certaines sont simples d’autres étant d’une grande rigueur mathématique.

2.1. Défintion 1

Si à chaque résultat (événement élémentaire) d’une épreuve (expérience aléatoire), on fait correspondre une valeur numérique ou si la réalisation d’une épreuve nous met en présence de quantités mesurables, mais dont la mesure ne peut être exprimée avec certitude, nous dirons alors que l’on a une variable aléatoire.

2.2. Défintion 2

Une variable aléatoire est une fonction qui associe, à chaque résultat d’une expérience aléatoire, un nombre réel.

2.3. Défintion 3

Associer à chaque événement élémentaire d’une expérience aléatoire un nombre réel permet de définir une variable aléatoire réelle.

Notatition :

1) Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule (par exemple X).

2) Les valeurs prises par cette variable aléatoire ou réalisations sont notés par des lettres minuscules (par exemple x₁, x₂, .. x_n).
3) L’événement « X prend la valeur x_i » est noté X = x_i

4) L’abréviation de variable aléatoire est v.a.

2.4. Défintion 4

Une variable aléatoire X est une fonction numérique qui associé à une expérience aléatoire. X associe une valeur réelle à tout élément de l’espace fondamental E (X : E à R). Elle peut être discrète ou continue.

2.5. Défintion d'une variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire notée X est dite discrète si l’ensemble des réalisations de X est dénombrable.

L’ensemble des réalisations de X, noté X(E), peut être, avec x_i <_xi+1:

Dénombrable fini : X(E) = {x₁, x₂,…, x_n} X est dite alors discrète finie

Dénombrable infini : X(E) = {x₁, x₂,…} X est dite alors discrète infinie

2.6. Support d'une variable aléatoire

Le support d’une variable aléatoire X est l’ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable X. On peut noter D_x pour une variable aléatoire discrète et C_x pour une variable aléatoire continue.

Exemple 1

Considérons les trois exemples suivants :

a) On tire au sort une carte dans un jeu de 52 cartes;

b) On lance un dé et on observe la face du dé;

c) On tire au sort un homme adulte dans une ville et on note son âge en année.

Dans ces trois cas, on décrit une opération précise qui mène à un résultat aléatoire : 52 possibilités dans le cas a); 6 dans le cas b) et moins de 120 dans le cas c). Cette opération est l’épreuve et ses résultats aléatoires sont les événements élémentaires.

On parle de variables aléatoires lorsque le résultat aléatoire de l’épreuve est un nombre : c’est bien les cas de b) et c) mais pas celui de a)

Exemple 2

La variable aléatoire Y associée à l’expérience aléatoire « un individu développe une insuffisance rénale » a deux réalisations possibles :

· l'individu développe une insuffisance rénale, réalisation codée généralement par 1, état associé au «succès»;
· l'individu ne développe pas une insuffisance rénale, réalisation codée par 0, état associé à l’«échec»;

Y est donc une variable aléatoire discrète finie ayant deux réalisations 0 et 1.
Donc Y={ 0, 1}

Exemple 3

Un nouveau vaccin est testé sur quatre souris. La variable aléatoire X qui correspond au « nombre de souris présentant une réaction allergique au vaccin parmi les quatre souris » est discrète finie ayant cinq réalisations possible : 0,1,2,3,4.

Donc X={0, 1, 2, 3, 4}