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VI. Indépendance

1. Définition

Deux événements A et B de l’univers E sont dits indépendants si et seulement si :

2. Théorème de l'indépendance

Si Pr(B) ≠ 0 alors A et B sont indépendants si

Ou de manière équivalente, si Pr(A) ≠ 0 alors A et B sont indépendants si

Il faut noter que deux conditions ont été ajoutées ici, à savoir Pr(A) ≠ 0 et Pr(B) ≠ 0
Ce théorème permet de comprendre que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la probabilité que l’autre se réalise.

Exemple 16 (Bénazeth et coll, 2013)

Une maladie génétique atteint 10% de la population. Un test de dépistage (soit positif, soit négatif) est appliqué au préalable pour déterminer quelle partie de la population aura accès au dépistage génétique plus poussé. On sait que le test de dépistage est positif pour 90% des personnes atteintes et pour 5% des personnes saines.

On note : A= «Être malade» et T = « Test positif»

1. Quelle est la probabilité :

· qu’une personne prise au hasard soit saine?

· qu’une personne malade prise au hasard ait un test négatif?

· qu’une personne saine prise au hasard ait un test négatif?

2. Une personne passe le test et a un résultat positif.

· quelle est la probabilité qu’elle soit malade?

· quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas malade?

3. Une personne passe le test et a un résultat négatif.

· quelle est la probabilité qu’elle soit malade?

· quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas malade?

4. Que pensez-vous des performances du test?

5. Les événements T et A sont-ils indépendants?

6. Si le cas (5) est vrai, que pensiez-vous du test?

Solution
On définit les événements comme suit :
A = « Être malade » ;

= « Ne pas être malade »
T = « Test positive » ;

= « Test négatif »

Réponse Question 1

· Probabilité qu’une personne prise au hasard soit saine = Pr(A) = 0,9

· Probabilité qu’une personne malade prise au hasard ait un test négatif =

· Probabilité qu’une personne saine prise au hasard ait un test négatif =

Réponse Question 2

Une personne passe le test et a un résultat positif.

· Probabilité qu’elle soit malade = Pr(A/T) =?

· Probabilité qu’elle ne soit pas malade =Pr(/T) =?

Pr(T)= 0,1 . 0,9 + 0,9 . 0,05 = 0,135

Réponse Question 3

Une personne passe le test et a un résultat négatif.

· La probabilité qu’elle soit malade = Pr(A/) = ?

· La probabilité qu’elle ne soit pas malade = Pr( /) = ?

Pr(

) = Pr(A) . Pr(

/A) + Pr(

) . Pr(

)
Pr(

) = 0,1 . 0,1 + 0,9 . 0,95 = 0,865

Réponse Question 4

Lorsque le test est positif, les résultats sont :

· Pr(A/T) 0,67 si la personne est malade

· Pr(/T)0,33 si la personne est saine

Lorsque le test est négatif les résultats sont :

· Pr(A/)0,01 si la personne est malade

· Pr(/)0,99 si la personne est saine

Quand le test est négatif, la personne est rassurée car dans 99% des cas, le test est fiable et la personne est effectivement non malade.

Par contre, si le test est positif, la personne peut dans 33% des cas ne peut être réellement malade et un second test lui ai nécessaire. Dans ce cas, le fait d’inclure une personne saine n’engendre que des dépenses supplémentaires mais n’a pas de conséquences sur la santé.

Si le test est négatif, il existe une probabilité de 1% que cette personne soit malade et que le test soit donc erroné. Il faut faire très attention à ne pas se tromper quand on exclut une personne de cette population à risque ce qui arrive avec 1% des cas.

Réponse Question 5

Les événements T et A sont indépendants si et seulement si

Pr(A) . Pr(T) = 0,1 . 0,135 = 0,0135

: Les deux événements ne sont pas indépendants.

Réponse Question 6

Si les événements T et A étaient indépendants alors ca implique que le résultat du test n’apporte aucune information sur la maladie. Il s’agirait donc d’un test complètement inutile