Statistiques descriptives-Page12

V. Mesures échantillonnales

De manière générale, les données dont on dispose peuvent se présenter selon une des formes suivantes :

Des données en série : on note dans ce cas, x_x , x₂ , ..,x_n les n observations de l’échantillon.

Exemple 19

L’âge de 15 étudiants :

18 17 21 17 19 19 20 17 19 25 27 16 18 27 18

Des données sont regroupées en valeurs (dans un tableau de fréquence : on note v₁ , v₂ , ..,v_n,les k différentes valeurs observées et f₁, f₂, .., f_k, leurs effectifs ou fréquences absolues

Exemple 20

Age des étudiants	Effectif
16 17 18 19 20 21 25 27	1 3 3 3 1 1 1 2
Total	15

Des données regroupées en classe (tableau de fréquence) :

Age des étudiants	Centre de la classe	Effectifs
[16, 20[	18	10
[20, 24[	22	2
[24,28[	26	3
Total		15

1. Mesure de tendance centrale

Les trois principales mesures de tendance centrale sont : la moyenne, la médiane et le mode

1.1. La moyenne

Il s'agit du paramètre le plus connu et du plus utilisé. C'est le point d'équilibre des observations.

Selon le type de données, la moyenne d’un échantillon se calcul de la manière suivante :

Échantillon
Données bruts	= (1 / n ) . x_i
Données groupées en valeurs	= (1 / n ) . v_i_{. fi}
Données groupées en classe	= (1 / n ) . m_i_{. fi avec k = nombre de classes.}

Remarque

La moyenne n’est pas une bonne mesure puisqu’elle est influencée par les valeurs extrêmes.

Il existe une différence entre la moyenne calculée dans un échantillon (

) et la moyenne dans la population (le paramètre µ). Le calcul de µ se calcul de façon équivalente à la moyenne échantillonnale :

Population
Données bruts	µ = (1 / n ) . x_i
Données groupées en valeurs	µ = (1 / n ) . v_i_{. fi}
Données groupées en classe	µ = (1 / n ) . m_i_{. fi}avec k = nombre de classes.

1.2. La médiane

À la différence, de la moyenne n'est pas issue d'un calcul. Il s'agit de la valeur qui sépare les observations en deux parties égales telles qu'il y ait autant d'observation au-dessus qu'au-dessous.

La médiane sera avantageusement utilisée lorsque le nombre de valeurs est important.

Me =

Lorsque les données sont regroupées en classe, on a recours à une approximation par une méthode graphique ou par une approche analytique.

Méthode graphique : où on utilise le graphique des fréquences cumulées. On repère la valeur qui correspond à 50% des obervations cumulées.
Méthode analytique : On utilise la formule suivante :

Avec
[A,B] : la classe qui contient la médiane
  N_M : l’effectif de la classe [A,B]
  F^*: la somme des effectifs des classes précédant la classe [A,B]
  n    : le nombre total d’observation

La médiane est aussi une mesure de position ; c’est le 2^ème quartile.
Elle est une mesure robuste puisqu’elle n’est pas influencée par les valeurs extrêmes.

1.3. Le mode

Le mode de l’échantillon noté Mo, est la valeur la plus fréquente constatée dans les observations. Si les données sont regroupées en classes, on parle de classe modale : la classe correspondant au plus grand effectif.

Il faut noter que le mode n’est pas toujours unique. C’est également une mesure robuste puisqu’il n’est pas influencé par les valeurs extrêmes.

1.4. Choix de la mesure de tendance

En pratique, il est toujours conseillé de commencer par faire une représentation graphique des données et ce n’est qu’après qu’on choisi la mesure de tendance centrale à privilégier

La mesure de tendance	Condition d'utilisation
La moyenne	Distribution relativement symétrique et unimodale
La médiane	Distribution avec forte asymétrie (positive ou négative) et unimodale
Le mode	Distritribution multimodale Variable qualitative nominale