Exemple 18

Si la probabilité d’une réaction allergique à un vaccin est de 0,001, quelle est la probabilité pour que parmi les 3000 individus :

1. exactement 3 soient sujets à un trouble
2. Plus de 2 soient sujets à un trouble

Solution

Soit X la variable aléatoire associé au nombre de personnes allergiques.

X est distribué binomialement mais qu’on est en présence d’un phénomènes rare, il faut utiliser la loi de Poisson.

Pr(X=k) =            avec   λ = n.p = 3000  × 0,001 = 3

Pr (X=3) = e^-3 × 3³ / 3!  = 0,224

Pr (X>2) = 1  -   Pr (X≤ 2)      

                = 1-  [Pr (X=0) +  Pr (X=1) +  Pr (X=2)]

                = 1 – [  e^-3 × 3⁰ / 0! + e^-3 × 3¹ / 1! + e^-3 × 3² / 2!  ]

                = 1 – (e^-3) ( 1 + 3 +9/2) = 1-0,4232 = 0,5768

Exemple 19 ( Baillargeon,1981)

Un responsable d’une entreprise de fabrication de voitures a effectué une étude sur le nombre d’accidents de travail qui se sont produits depuis 3 dans l’usine.

1. En supposant que le nombre d’accidents en une journée obéit à la loi de Poisson, établir l’expression qui permet de calculer la probabilité d’observer k accidents de travail par jours?
2. Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire concernée.
3. Quelle est la probabilité d’observer plus de 2 accidents par jour?
4. Calculer la probabilité d’avoir un nombre d’accidents compris dans l’intervalle :    [ E(X) – σ(X) , E(X) + σ(X)]
5. Tracer la distribution du nombre d’accident par jour    

Solution

    4. E(X) = 1,3     σ(X) =1,14    dans  [ E(X) – σ(X) , E(X) + σ(X)]

       On cherche Pr (0,16 ≤ X ≤ 2,44)   or la variable de Poisson est une variable discrète qui prend des valeurs 0, 1, 2…  donc on doit calculer Pr (1  ≤ X ≤ 2)

       Pr (1  ≤ X ≤ 2)= P(X ≤ 2) – P(X=0)