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IV. Théorème des probabilités totales et propriétés

1. Théorème

Soient deux événements A et B de l’univers E.

Démonstration : La meilleure manière de démontrer cette formule passe par l’analogie probabilités-surface.

La surface de ( ) est égale à la surface de A, plus la surface de B moins celle de ( ) .

Si on oublie ce dernier terme, ceci reviendrait à compter 2 fois la surface ( ) dans A et dans B.

D’où la formule :

2. Théorème des probabilités totales

Si l’ensemble des k événements (A₁, A₂, …A_k) est une partition de E alors

Remarque :

Ce théorème est très important puisqu’il permet de calculer la probabilité d’un événement quand les probabilités de tous les autres sont connues. Ainsi, si Pr(A₁), …, Pr(A_k-1) sont connues alors :

Exemple 12

Suite à la prise d’un traitement, une réaction peut se développer sous deux formes non exclusives, la fièvre ou la toux.
Parmi la population traitée, la probabilité d’avoir une fièvre est de 0,1, celle d’avoir une toux est de 0,2 et celle d’avoir les deux est de 0,05.

Quand on prend le traitement, quelle est la probabilité d’avoir l’une ou l’autre des deux formes de réaction?
Un test de prédisposition à cette réaction peut avoir trois résultats possibles : positif, négatif ou douteux. La probabilité d’un test positif est de 0,01 et celle d’un test négatif est de 0,9. Quelle est la probabilité d’obtenir un test douteux

Solution

1. On définit les événements : F =« développement de la fièvre» et T = « développement de la toux»

Pr(F) = 0,1 et Pr (T) = 0,2

= 0,1 + 0,3 - 0,05 = 0,25

2. On définit les événements A=« test positif»; B=« test négatif» et C =«test douteux»

Pr(A) = 0,01; Pr(B) = 0,09.

Pr(C) = ?

Sachant que cette expérience ne peut avoir que 3 résultats possibles donc : Pr(A)+Pr(B)+Pr(C)=1

Pr(C) = 1-(Pr(A)+Pr(B)) = 1- (0,01 + 0,9) = 0,09.