Département de pharmacie Faculté de médecine Université de Constantine 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Lois des probabilités discrètes I. Introduction Dans ce chapitre, on va traiter des
notions qui seront très importantes pour les sujets en rapport avec les
statistiques, soient les notions de variables aléatoires, de lois de
probabilité, d’espérance mathématique d’une variable aléatoire et de variance
d’une variable aléatoire. Les notions de probabilité sont
associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats
possibles d’une expérience aléatoire) alors que les notions de statistiques
sont associées à un nombre restreint d’observation (échantillon). L’étude des lois des probabilités permet
donc de caractériser d’une manière conceptuelle une population hypothétique et
infinie. En résumé : on peut dire, que le
calcul des probabilités est l’aspect théorique des notions pratiques traités
par les statistiques descriptives. On peut donc présenter l’équivalence entre
leurs concepts sur lesquelles nous y
reviendront tout au long des chapitres suivants :
II. Variables aléatoires discrètes 1. Application des notions de variable aléatoire en biomédicale On sait que le nombre de mois de survie
après le diagnostic d’un cancer des poumons par exemple est variable d’un sujet
à un autre : comment représenter cette variabilité? Comment comparer les
survies (variables) de patients atteints d’un cancer des poumons et celles de
patients atteints d’un cancer primitif du foie? Dans les deux cas, il y a
survies très courtes et d’autres longues. Mais en moyenne ? Sont-ils aussi
variables d’un patient à l’autre dans les deux maladies? 2. Défintion d'une variable aléatoire discrète Il existe en pratique autant de
définitions de variable aléatoire qu’il y a d’auteurs. Certaines sont simples
d’autres étant d’une grande rigueur mathématique. 2.1. Défintion 1 Si à chaque résultat (événement
élémentaire) d’une épreuve (expérience aléatoire), on fait correspondre une
valeur numérique ou si la réalisation d’une épreuve nous met en présence de
quantités mesurables, mais dont la mesure ne peut être exprimée avec certitude,
nous dirons alors que l’on a une variable aléatoire. 2.2. Défintion 2 Une variable aléatoire est une fonction
qui associe, à chaque résultat d’une expérience aléatoire, un nombre réel. 2.3. Défintion 3 Associer à chaque événement élémentaire
d’une expérience aléatoire un nombre réel permet de définir une variable
aléatoire réelle. Notatition : 1)
Une variable aléatoire est généralement
notée par une lettre majuscule (par exemple X). 2)
Les valeurs prises par cette variable
aléatoire ou réalisations sont notés par des lettres minuscules (par exemple x1, x2, .. xn). 2.4. Défintion 4 Une variable aléatoire X est une fonction numérique qui associé à une expérience aléatoire. X associe une valeur réelle à tout élément de l’espace fondamental E (X : E à R). Elle peut être discrète ou continue. 2.5. Défintion d'une variable aléatoire discrète Une variable aléatoire notée X est dite discrète si l’ensemble des réalisations
de X est dénombrable. L’ensemble des réalisations de X, noté
X(E), peut être, avec xi <xi+1 : Dénombrable fini : X(E) = {x1, x2,…, xn} X
est dite alors discrète
finie Dénombrable infini : X(E) = {x1, x2,…} X est dite alors discrète infinie 2.6. Support d'une variable aléatoire Le support
d’une variable aléatoire X est l’ensemble de toutes les valeurs possibles que
peut prendre la variable X. On peut noter Dx
pour une variable aléatoire discrète et Cx
pour une variable aléatoire continue. Exemple 1 Considérons les trois exemples
suivants : a)
On tire au sort une carte dans un jeu de
52 cartes; b)
On lance un dé et on observe la face du
dé; c)
On tire au sort un homme adulte dans une
ville et on note son âge en année. Dans ces trois cas, on décrit une
opération précise qui mène à un résultat aléatoire : 52 possibilités dans
le cas a); 6 dans le cas b) et moins de 120 dans le cas c). Cette opération est l’épreuve
et ses résultats aléatoires sont les événements élémentaires. On parle de variables aléatoires lorsque
le résultat aléatoire de l’épreuve est un nombre : c’est bien les cas de b) et c) mais pas celui de a) Exemple 2 La variable aléatoire Y associée à
l’expérience aléatoire « un individu
développe une insuffisance rénale » a deux réalisations possibles : ·
l'individu développe une insuffisance
rénale, réalisation codée généralement par 1, état associé au «succès»; Y est donc une variable aléatoire
discrète finie ayant deux réalisations 0 et 1. Exemple 3 Un nouveau vaccin est testé sur quatre
souris. La variable aléatoire X qui correspond au « nombre de souris présentant une réaction allergique au vaccin parmi les
quatre souris » est discrète finie ayant cinq réalisations possible :
0,1,2,3,4. |