Département de pharmacie Faculté de médecine Université de Constantine 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Théorèmes fondamentaux des probabilités VI. Indépendance 1. Définition Deux événements A et B de l’univers E sont dits indépendants si et seulement si : 2. Théorème de l'indépendance Si Pr(B) ≠ 0 alors A et B sont indépendants si Ou de manière équivalente, si Pr(A) ≠ 0 alors A et B sont indépendants si Il faut noter que deux conditions ont été ajoutées ici, à savoir Pr(A) ≠ 0 et Pr(B) ≠ 0 Ce théorème permet de comprendre que deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la probabilité que l’autre se réalise. Exemple 16 Une
maladie génétique atteint 10% de la population. Un test de dépistage (soit
positif, soit négatif) est appliqué au préalable pour déterminer quelle partie
de la population aura accès au dépistage génétique plus poussé. On sait que le
test de dépistage est positif pour 90% des personnes atteintes et pour 5% des
personnes saines. On
note : A= «Être malade» et T
= « Test positif» 1. Quelle
est la probabilité : ·
qu’une personne prise au hasard soit
saine? ·
qu’une personne malade prise au hasard
ait un test négatif? ·
qu’une personne saine prise au hasard
ait un test négatif? 2. Une
personne passe le test et a un résultat positif. ·
quelle est la probabilité qu’elle soit
malade? ·
quelle est la probabilité qu’elle ne
soit pas malade? 3. Une
personne passe le test et a un résultat négatif. ·
quelle est la probabilité qu’elle soit
malade? ·
quelle est la probabilité qu’elle ne
soit pas malade? 4. Que
pensez-vous des performances du test? 5. Les
événements T et A sont-ils indépendants? 6. Si le cas (5) est vrai, que pensiez-vous du test? Solution On définit les événements comme suit : A = « Être malade » ; = « Ne pas être malade » T = « Test positive » ; = « Test négatif » Réponse Question 1 ·
Probabilité qu’une personne prise au
hasard soit saine = Pr(A) = 0,9 ·
Probabilité qu’une personne malade prise
au hasard ait un test négatif = ·
Probabilité qu’une personne saine prise
au hasard ait un test négatif = Réponse Question 2 Une
personne passe le test et a un résultat positif. ·
Probabilité qu’elle soit malade = Pr(A/T) =? ·
Probabilité qu’elle ne soit pas malade =Pr(/T)
Pr(T)= 0,1 . 0,9 + 0,9 . 0,05 = 0,135 Réponse Question 3 Une
personne passe le test et a un résultat négatif. ·
La probabilité qu’elle soit malade = Pr(A/) ·
La probabilité qu’elle ne soit pas
malade = Pr( /) Pr() = Pr(A) . Pr(/A) + Pr() . Pr(/) Pr() = 0,1 . 0,1 + 0,9 . 0,95 = 0,865 Réponse Question 4 Lorsque
le test est positif, les résultats sont : ·
·
Lorsque
le test est négatif les résultats sont : ·
·
Quand le test est négatif, la personne est rassurée
car dans 99% des cas, le test est fiable et la personne est effectivement non
malade. Par contre, si le test est positif, la personne peut
dans 33% des cas ne peut être réellement malade et un second test lui ai
nécessaire. Dans ce cas, le fait d’inclure une personne saine n’engendre que
des dépenses supplémentaires mais n’a pas de conséquences sur la santé. Si le test est négatif, il existe une probabilité de
1% que cette personne soit malade et que le test soit donc erroné. Il faut faire
très attention à ne pas se tromper quand on exclut une personne de cette
population à risque ce qui arrive avec 1% des cas. Réponse Question 5 Pr(A) . Pr(T) = 0,1 . 0,135 = 0,0135 : Les deux événements ne sont pas indépendants. Réponse Question 6 Si les événements T et A étaient indépendants alors
ca implique que le résultat du test n’apporte aucune information sur la
maladie. Il s’agirait donc d’un test complètement inutile. |