Département de pharmacie Faculté de médecine Université de Constantine 3 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Lois des probabilités discrètes 4. Fonction de répartition 4.1. Défintion La
fonction de répartition associé à la variable aléatoire réelle X est la
fonction, notée Fx, définie de R dans
l’intervalle [0,1] par : Sa représentation graphique est une fonction en escalier tel que : Si x < x1 alors Fx(x) = 0 Si x1≤ x <x2 alors Fx(x) = Pr(X = x1) = p1 Si x2≤ x <x3 alors Fx(x) = p1 + p2 . . . . Si xn-1≤ x <xn alors Fx(x) = Si x ≥ xn alors Fx(x) = = 1 4.2. Propriétés 4.2.1. Propriété de continuité - Continuité à droite : Fx(x=h) = Fx(x) - Discontinuité à gauche en chaque réalisation de xi de la variable aléatoire admettant une probabilité de réalisation non nulle (c'est-à-dire valeur pour laquelle la fonction de répartition saute). Fx(xi) - Fx(xi +h) = Pr (X = xi) = pi 4.2.2. Autres propriétés - 0 ≤ Fx(x) ≤ 1 (par définition) - Fx(x) est croissante au sens large : si a ≤ b alors Fx(a) ≤ Fx(b) - Fx(x) = 0 et Fx(x) = 1 Exemple 6 Évaluer
la fonction de répartition de l’exemple 4 et tracer le graphique
correspondant. Solution
Exemple 7 Évaluer
la fonction de répartition de l’exemple 5 et tracer le graphique
correspondant.
4.2.3. Application utile Soient a et b deux réels tel que a < b (qui ne sont pas forcement
des réalisations). Pr
(a < X ≤ b)
= Fx(b)-
Fx(a) Exemple 8 Considérer les données
de l’exemple 7 et calculer Pr
(-2
< X ≤ 0,5). Solution Pr
(-2
< X ≤ 0,5)= Fy(0,5)- Fy(-2)
= 0,9 – 0 = 0,9 |